Exercice 5, § 2

Soient $X$ un espace métrique, $d$ sa distance. Pour tout couple $(x, y)$ de points de $X$, on désigne par $d_0(x, y)$ la borne inférieure des nombres $\alpha > 0$ tels que $x$ et $y$ puissent être joints par une $V_\alpha$-chaîne (II, p. 31). Montrer que $d_0$ est un écart sur $X$, et que l’espace métrique associé à l’espace uniforme défini par l’écart $d_0$ sur $X$ (IX, p. 12) est un espace ultramétrique (IX, p. 91, exerc. 4).