Exercice 7, § 2

Soit $X$ un espace discret infini. Montrer que la structure uniforme des partitions finies (II, p. 7) sur $X$, qui est compatible avec la topologie de $X$, n’est pas métrisable (dans le cas contraire, il existerait une suite $(\mathfrak{F}_n)$ de partitions finies de $X$, telle que toute partition finie de $X$ soit formée d’ensembles dont chacun serait réunion d’ensembles de l’une des partitions $\mathfrak{F}_n$; en déduire que l’ensemble des partitions finies de $X$ serait dénombrable.)