Exercice 8, § 2

Soit X un espace topologique dont chaque point possède un système fondamental dénombrable de voisinages. a) Pour que X soit séparé, il suffit que toute suite convergente dans X ait une seule limite. b) Si a est valeur d’adhérence d’une suite infinie $(x_n)$ de points de X, il existe une suite infinie extraite de $(x_n)$ et qui converge vers a. c) Soient A une partie non vide de X, $x_0$ un point de $\overline{A}$, f une application de A dans un espace topologique séparé Y. Pour que $a \in Y$ soit limite de f au point $x_0$, relativement à A, il suffit que, pour toute suite $(x_n)$ de points de A qui converge vers $x_0$, la suite $(f(x_n))$ converge vers a. d) Avec les notations de c), on suppose en outre que tout point de Y ait un système fondamental dénombrable de voisinages. Si $a \in Y$ est valeur d’adhérence de f au point $x_0$ relativement à A, il existe une suite $(x_n)$ de points de A qui converge vers $x_0$, et est telle que la suite $(f(x_n))$ converge vers a.