Exercice 11, § 3

Soient K un corps topologique séparé et non discret, $\varphi$ une application de K dans $\mathbf{R}_+$, telle que $\varphi(0) = 0$, $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$, et que, si $V_n$ désigne l’ensemble des $x \in K$ tels que $\varphi(x) \leq 1/n$, les $V_n$ forment un système fondamental de voisinages de 0 dans K.

a) Montrer qu’il existe un nombre $a > 0$ tel que l’on ait $\varphi(1 + x) \leq a(1 + \varphi(x))$ (dans le cas contraire, il existerait une suite $(x_n)$ de points de K telle que $(1 + x_n)^{-1}$ et $x_n(1 + x_n)^{-1}$ tendent tous deux vers 0). En déduire que si on pose $\psi(x) = (\varphi(x))^{\alpha}$, on a

pour $\alpha$ assez petit.

b) Montrer que si $n = 2^p$, on a $\psi \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \leq n \sup (\psi(x_i))$; en déduire que pour tout entier $m > 0$, on a $\psi(m) \leq 2m$.

c) Déduire de b) que pour tout $n = 2^p$ et tout $x \in K$, on a $\psi((1 + x)^{n-1} \leq 2n(1 + \psi(x))^{n-1}$, et en conclure que $\psi$ est une valeur absolue sur $K$, définissant la topologie de $K$.