Bài tập 11, § 3

Cho K là một trường tôpô tách biệt không rời rạc, $\varphi$ là một ánh xạ từ K vào $\mathbf{R}_+$, sao cho $\varphi(0) = 0$, $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$, và sao cho, nếu $V_n$ ký hiệu tập hợp các $x \in K$ sao cho $\varphi(x) \leq 1/n$, thì các $V_n$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong K.

a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một số $a > 0$ sao cho ta có $\varphi(1 + x) \leq a(1 + \varphi(x))$ (nếu không, sẽ tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của K sao cho $(1 + x_n)^{-1}$ và $x_n(1 + x_n)^{-1}$ đều tiến tới 0). Suy ra rằng nếu đặt $\psi(x) = (\varphi(x))^{\alpha}$, thì ta có

với $\alpha$ đủ nhỏ.

b) Bây giờ chứng minh rằng nếu $n = 2^p$, thì ta có $\psi \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \leq n \sup (\psi(x_i))$; suy ra rằng với mọi số nguyên $m > 0$, ta có $\psi(m) \leq 2m$.

c) Suy ra từ b) rằng với mọi $n = 2^p$ và mọi $x \in K$, ta có $\psi((1 + x)^{n-1} \leq 2n(1 + \psi(x))^{n-1}$, và kết luận rằng $\psi$ là một giá trị tuyệt đối trên K, xác định tôpô của K.