Exercice 5, § 3

Soit $\omega$ une valeur absolue sur le corps $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels. a) Montrer que $\omega$ est entièrement déterminée par la connaissance de ses valeurs pour les nombres premiers. b) S’il existe un nombre premier $p$ tel que $\omega(p) \leqslant 1$, montrer que pour tout autre nombre premier $q$, on a $\omega(q) \leqslant 1$ (majorer $\omega(q^n)$ en écrivant $q^n$ dans le système de numération de base $p$, et faire croître $n$ indéfiniment). c) S’il existe un nombre permier $p$ tel que $\omega(p) < 1$, montrer que pour tout autre nombre premier $q$, on a $\omega(q) = 1$ (montrer qu’on ne peut avoir $\omega(q) < 1$, en utilisant le fait que pour tout entier $n > 0$, il existe deux entiers rationnels $r, s$ tels que $1 = rp^n + sq^n$). En déduire que $\omega$ est alors une valeur absolue déduite de la valuation $p$-adique sur $\mathbf{Q}$. d) Si $\omega(p) > 1$ pour tout nombre premier $p$, montrer que si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers quelconques, on a

(même méthode que dans b)). En déduire qu’on a alors $\omega(x) = |x|^p$ avec $p \leqslant 1$.