Bài tập 5, § 3

Cho $\omega$ là một giá trị tuyệt đối trên trường $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ. a) Chứng minh rằng $\omega$ được xác định duy nhất bởi các giá trị của nó tại các số nguyên tố. b) Nếu có một số nguyên tố $p$ sao cho $\omega(p) \leq 1$, chứng minh rằng $\omega(q) \leq 1$ đối với mọi số nguyên tố khác $q$ [tìm một cận trên của $\omega(q^n)$ bằng cách viết $q^n$ theo thang của $p$, và cho $n \to \infty$]. c) Nếu tồn tại một số nguyên tố $p$ sao cho $\omega(p) < 1$, chứng minh rằng $\omega(q) = 1$ đối với mọi số nguyên tố khác $q$ [chứng minh rằng ta không thể có $\omega(q) < 1$, bằng cách sử dụng sự kiện rằng với mỗi số nguyên $n > 0$ tồn tại hai số nguyên hữu tỉ $r$ và $s$ sao cho $1 = rp^n + sq^n$]. Từ đó chứng minh rằng $\omega$ khi đó là một giá trị tuyệt đối tương đương với giá trị tuyệt đối $p$-adic trên $\mathbf{Q}$. d) Nếu $\omega(p) > 1$ đối với mọi số nguyên tố $p$, chứng minh rằng nếu $p$ và $q$ là hai số nguyên tố bất kỳ, thì

[cùng phương pháp như trong b)]. Từ đó chứng minh rằng trong trường hợp này $\omega(x) = |x|^p$ với một $p \leq 1$. \*