Exercice 6, § 3

Soit E un espace vectoriel à gauche sur un corps K, admettant une base dénombrable ($a_n$). Soit $(r_n)$ une suite décroissante de nombres $> 0$, tendant vers 0; on pose $\|0\| = 0$, et pour tout élément $x = \sum_k t_k a_k \neq 0$ dans E, on pose $\|x\| = r_h$, si $h$ est le plus petit des indices $k$ tels que $t_k \neq 0$. Montrer que $\|x - y\|$ est une distance invariante sur le groupe additif E, et que la topologie qu’elle définit sur E ne dépend pas de la suite $(r_n)$ (décroissante et tendant vers 0) choisie. En déduire que, si l’on étend les définitions d’une norme et d’un espace normé (IX, p. 31, déf. 5 et p. 32, déf. 6) au cas où la valeur absolue considérée sur le corps des scalaires est impropre, la prop. 8 (IX, p. 32) et le th. 1 (IX, p. 35) ne sont plus valables.