Bài tập 6, § 3

Cho E là một không gian vectơ trái trên một trường K, có một cơ sở đếm được ($a_n$). Cho $(r_n)$ là một dãy giảm các số $> 0$, tiến về 0; đặt $\|0\| = 0$, và đối với mọi phần tử $x = \sum_k t_k a_k \neq 0$ của E, đặt $\|x\| = r_h$, nếu $h$ là nhỏ nhất trong các chỉ số $k$ sao cho $t_k \neq 0$. Bây giờ chứng minh rằng $\|x - y\|$ là một khoảng cách bất biến trên nhóm cộng E, và rằng tôpô mà nó xác định trên E không phụ thuộc vào dãy $(r_n)$ (giảm và tiến về 0) được chọn. Suy ra rằng, nếu mở rộng các định nghĩa về chuẩn và không gian chuẩn (IX, p. 31, def. 5 và p. 32, def. 6) sang trường hợp trong đó giá trị tuyệt đối được xét trên trường các vô hướng là không đúng, thì Mệnh đề 8 (IX, p. 32) và Định lý 1 (IX, p. 35) không còn đúng nữa.