Exercice 1, § 4

a) Un espace topologique accessible (I, p. 100, exerc. 1) et vérifiant l’axiome $(O_V)$ est normal.

b) Définir un espace topologique comprenant quatre points, vérifiant l’axiome $(O_V)$ mais non l’axiome $(O_{III})$.

c) Pour qu’un espace topologique $X$ vérifiant l’axiome $(O_V)$ vérifie aussi l’axiome $(O_{III})$, il faut et il suffit qu’il possède la propriété suivante: toute partie fermée de $X$ est l’intersection de ses voisinages. Alors $X$ est uniformisable et l’espace complètement régulier associé à $X$ (IX, p. 85, exerc. 6) est normal.

d) Un espace topologique quasi-compact qui vérifie $(O_{III})$ vérifie aussi $(O_V)$, et l’espace complètement régulier associé est compact.