Exercice 11, § 4

On dit qu’un espace topologique X est parfaitement normal s’il est normal, et si toute partie fermée de X est intersection dénombrable d’ensembles ouverts (ou, ce qui revient au même, si toute partie ouverte de X est réunion dénombrable d’ensembles fermés). a) Pour qu’un espace séparé X soit parfaitement normal, il faut et il suffit que pour toute partie fermée A de X, il existe une fonction numérique f continue dans X et telle que $f^{-1}(0) = A$ (méthode de IX, p. 88, exerc. 19 a)). b) Montrer que tout espace parfaitement normal X est complètement normal et que tout sous-espace de X est parfaitement normal (utiliser les exerc. 7, 9) (IX, p. 102). c) Toute fonction numérique semi-continue inférieurement sur un espace parfaitement normal est l’enveloppe supérieure d’une suite de fonctions continues (méthode de IX, p. 18, prop. 11). d) L’espace compact X obtenu en adjoignant un point à l’infini à un espace discret non dénombrable est complètement normal mais non parfaitement normal, et tout sous-espace de X est paracompact.

¶ 11) Montrer que l’espace compact non métrisable X défini dans l’exerc. 12a) de IX, p. 92 est parfaitement normal, et que l’espace compact non métrisable Y défini dans l’exerc. 12 d) de IX, p. 93 est complètement normal mais non parfaitement normal.