Exercice 19, § 4

a) Soient $X$ un espace normal, $R$ une relation d’équivalence fermée dans $X$. Montrer que l’espace quotient $X/R$ est normal (utiliser la prop. 10 de I, p. 35).

b) Soient $X$ un espace localement compact dénombrable à l’infini, $R$ une relation d’équivalence dans $X$ dont le graphe est fermé dans $X \times X$. Montrer que $X/R$ est normal (cf. I, p. 113, exerc. 19).

c) Soit $X$ le complémentaire, dans $\mathbf{R}$, de l’ensemble des points de la forme $1/n$, où $n$ parcourt l’ensemble des entiers différents de 0 et de $\pm 1$. On considère, dans l’espace métrisable $X$, la relation d’équivalence $R$ pour laquelle la classe d’équivalence de tout point $x \in X$ non entier est formée des points $x$ et $1/x$, et la classe d’équivalence de chaque entier est réduite à cet entier. Montrer que $R$ est ouverte et a un graphe fermé dans $X \times X$, mais que $X/R$ n’est pas régulier.