Bài tập 19, § 4

(a) Cho $X$ là một không gian chính quy, $R$ là một quan hệ tương đương đóng trong $X$. Bây giờ chứng minh rằng không gian thương $X/R$ là chính quy (dùng mệnh đề 10 của I, p. 35).

(b) Cho $X$ là một không gian compact địa phương đếm được tại vô cực, $R$ là một quan hệ tương đương trong $X$ có đồ thị đóng trong $X \times X$. Bây giờ chứng minh rằng $X/R$ là chính quy (xem I, p. 113, bài tập 19).

(c) Cho $X$ là phần bù, trong $\mathbf{R}$, của tập hợp các điểm có dạng $1/n$, trong đó $n$ chạy qua tập hợp các số nguyên khác 0 và khác $\pm 1$. Ta xét, trong không gian mêtric $X$, quan hệ tương đương $R$ mà lớp tương đương của mỗi điểm không nguyên $x \in X$ được tạo bởi các điểm $x$ và $1/x$, và lớp tương đương của mỗi số nguyên được rút gọn thành chính số nguyên đó. Bây giờ chứng minh rằng $R$ là mở và có một đồ thị đóng trong $X \times X$, nhưng $X/R$ không chính quy.