Exercice 23, § 4

a) Pour que tout recouvrement ouvert fini d’un espace complètement régulier soit divisible (IX, p. 105, exerc. 20), il est nécessaire que X soit normal; inversement, si X est normal, tout recouvrement ouvert fini de X est normal (IX, p. 105, exerc. 20); lorsque $\mathscr{R}$ parcourt l’ensemble des recouvrements ouverts finis de X, les ensembles $V_{\mathscr{R}}$ forment un système fondamental d’entourages de la structure uniforme $\mathscr{U}_\omega^*$ induite sur X par la structure uniforme de $\beta X$ (IX, p. 86, exerc. 13). (Utiliser IX, p. 48, cor. 1 et l’axiome (Ov) pour définir une famille finie d’écart continu sur X de la forme $(x, y) \mapsto |f(x) - f(y)|$, de sorte qu’un entourage de la structure uniforme définie par cette famille soit contenu dans $V_{\mathscr{R}}$). b) Soient X un espace normal; pour toute partie fermée Y de X, soit $Y^\beta$ l’adhérence de Y dans $\beta X$. Montrer que l’application continue $\beta Y \to Y^\beta$ qui prolonge l’injection canonique $Y \to Y^\beta$ est un homéomorphisme (utiliser a), ou directement la propriété universelle de $\beta Y$ et le th. 2 de IX, p. 44). Si Y, Z sont deux parties fermées de X, montrer que

dans $\beta X$ (si $x_0 \notin (Y \cap Z)^\beta$ et $x_0 \in Y^\beta$, considérer un voisinage fermé V de $x_0$ dans $\beta X$, tel que $V \cap Y$ et Z soient disjoints).