Exercice 24, § 4

On dit qu’une famille $(A_\alpha)$ de parties d’un espace topologique X est discrète si, pour tout $x \in X$, il existe un voisinage de x ne rencontrant qu’un ensemble $A_\alpha$ au plus. On dit qu’un espace séparé X est collectivement normal si, pour toute famille discrète $(A_\alpha)$ de parties fermées de X, il existe une famille $(U_\alpha)$ d’ensembles ouverts deux à deux sans point commun et telle que $A_\alpha \subset U_\alpha$ pour tout $\alpha$. Tout espace collectivement normal est normal. a) Pour que tout recouvrement ouvert d’un espace complètement régulier X soit divisible (IX, p. 105, exerc. 20), il faut et il suffit que l’ensemble des voisinages de la diagonale $\Delta$ de $X \times X$ soit le filtre d’entourages de la structure uniforme universelle de X (IX, p. 86, exerc. 10). Montrer que s’il en est ainsi, X est collectivement normal (si $(A_\alpha)$ est une famille discrète de parties fermées de X, considérer le recouvrement ouvert $(V_\alpha)$, où

b) Soient $Y = \{a, b\}$ l’espace localement compact défini dans l’exerc. 12 de I, p. 106, $Y_0$ l’ensemble Y muni de la topologie discrète, Z l’ensemble $Y_0 \cup \{b\}$, où les points de $Y_0$ sont des ensembles ouverts, et les ensembles $]x, b]$, où x parcourt $Y_0$, forment un système fondamental de voisinages de b. Montrer que l’espace $X = Y \times Z$ est collectivement normal (remarquer que dans Y aucune famille infinie de parties fermées de Y ne peut être discrète, et utiliser IX, p. 102, exerc. 8). Soit $\mathscr{R}$ le recouvrement ouvert de X formé de $Y \times Y_0$ et des produits $[a, x) \times ]x, b]$ (pour $x < b$); montrer que $\mathscr{R}$ n’est pas divisible, et par suite que l’ensemble des voisinages de $\Delta$ dans $X \times X$ n’est pas le filtre des entourages d’une structure uniforme sur $X$ (utiliser I, p. 106, exerc. 12).