Bài tập 24, § 4

Người ta nói rằng một họ $(A_\alpha)$ các tập con của một không gian tôpô X là rời rạc nếu, với mọi $x \in X$, tồn tại một lân cận của x gặp nhiều nhất một tập $A_\alpha$. Người ta nói rằng một không gian tách X là chuẩn tắc tập thể nếu, với mọi họ rời rạc $(A_\alpha)$ các tập con đóng của X, tồn tại một họ $(U_\alpha)$ các tập mở từng đôi một không có điểm chung sao cho $A_\alpha \subset U_\alpha$ với mọi $\alpha$. Mọi không gian chuẩn tắc tập thể đều là chuẩn tắc. a) Để mọi phủ mở của một không gian hoàn toàn chính quy X là chia được (IX, p. 105, Bài tập 20), điều kiện cần và đủ là tập hợp các lân cận của đường chéo $\Delta$ của $X \times X$ là lọc các lân cận của cấu trúc đều phổ quát của X (IX, p. 86, Bài tập 10). Bây giờ chứng minh rằng nếu điều này đúng, thì X là chuẩn tắc tập thể (nếu $(A_\alpha)$ là một họ rời rạc các tập con đóng của X, xét phủ mở $(V_\alpha)$, trong đó

b) Cho $Y = \{a, b\}$ là không gian compact địa phương được xác định trong Bài tập 12 của I, p. 106, $Y_0$ là tập Y được trang bị tôpô rời rạc, Z là tập $Y_0 \cup \{b\}$, trong đó các điểm của $Y_0$ là các tập mở, và các tập $]x, b]$, trong đó x chạy qua $Y_0$, tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của b. Bây giờ chứng minh rằng không gian $X = Y \times Z$ là chuẩn tắc tập thể (nhận xét rằng trong Y không có họ vô hạn các tập con đóng của Y nào có thể rời rạc, và sử dụng IX, p. 102, Bài tập 8). Gọi $\mathscr{R}$ là phủ mở của X tạo bởi $Y \times Y_0$ và các tích $[a, x) \times ]x, b]$ (với $x < b$); bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{R}$ không chia được, và do đó tập hợp các lân cận của $\Delta$ trong $X \times X$ không phải là lọc các lân cận của một cấu trúc đều trên $X$ (sử dụng I, p. 106, Bài tập 12).