Exercice 26, § 4

a) Pour qu’un espace régulier X soit paracompact, il faut et il suffit que tout recouvrement ouvert de X soit uni (IX, p. 105, exerc. 20). (Pour voir que la condition est nécessaire, utiliser l’exerc. 25 a) et IX, p. 105, exerc. 20 b). Pour voir qu’elle est suffisante, utiliser IX, p. 105, exerc. 20 a), IX, p. 6, prop. 2 et IX, p. 51, th. 4.) Tout espace paracompact est donc collectivement normal (IX, p. 106, exerc. 24) et l’ensemble des voisinages de la diagonale de $X \times X$ est le filtre des entourages de la structure uniforme universelle sur X. b) Donner un exemple de recouvrement divisible non uni d’un espace localement compact, collectivement normal et non paracompact (utiliser a), et II, p. 37, exerc. 4). c) Montrer qu’un espace paracompact X est complet pour sa structure uniforme universelle (IX, p. 86, exerc. 10). (Si un filtre de Cauchy $\mathscr{F}$ pour cette structure n’a pas de point adhérent, tout point $x \in X$ a un voisinage ouvert $V_x$ qui ne rencontre pas un ensemble de $\mathscr{F}$ au moins. Utiliser alors a), et IX, p. 106, exerc. 24 a).)