Bài tập 26, § 4

a) Để một không gian chính quy X là paracompact, điều kiện cần và đủ là mọi phủ mở của X đều là đều (IX, p. 105, Bài tập 20). (Để thấy rằng điều kiện này là cần, dùng Bài tập 25 a) và IX, p. 105, Bài tập 20 b). Để thấy rằng nó là đủ, dùng IX, p. 105, Bài tập 20 a), IX, p. 6, Mệnh đề 2 và IX, p. 51, Định lý 4.) Do đó mọi không gian paracompact đều chuẩn tắc tập thể (IX, p. 106, Bài tập 24) và tập hợp các lân cận của đường chéo của $X \times X$ là lọc các lân cận của cấu trúc đều phổ quát trên X. b) Hãy cho một ví dụ về một phủ chia được không đều của một không gian compact địa phương, chuẩn tắc tập thể và không paracompact (dùng a), và II, p. 37, Bài tập 4). c) Chứng minh rằng một không gian paracompact X là đầy đủ đối với cấu trúc đều phổ quát của nó (IX, p. 86, Bài tập 10). (Nếu một lọc Cauchy $\mathscr{F}$ đối với cấu trúc này không có điểm dính, mọi điểm $x \in X$ có một lân cận mở $V_x$ không gặp ít nhất một tập hợp của $\mathscr{F}$. Khi đó dùng a), và IX, p. 106, Bài tập 24 a).)