Exercice 27, § 4

a) Soient X un espace normal, $(U_\lambda)_{\lambda \in L}$ un recouvrement ouvert localement fini de X. Montrer qu’il existe un recouvrement ouvert dénombrable $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de X, où, pour chaque $n \in \mathbf{N}$, $V_n$ est la réunion d’une famille $(W_v)_{v \in K_n}$ d’ouverts deux à deux disjoints formant un recouvrement de $V_n$ plus fin que $(U_\lambda)_{\lambda \in L}$. (Soit $(f_\lambda)_{\lambda \in L}$ une partition continue de l’unité subordonnée à $(U_\lambda)_{\lambda \in L}$. Pour toute partie finie J de L, soit $W_j$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $f_\lambda(x) < f_\mu(x)$ pour tous les couples $(\lambda, \mu)$ tels que $\lambda \in L - J$, $\mu \in J$. Prendre pour $K_n$ l’ensemble des parties de L ayant n éléments.) b) Soient X un espace topologique, $\mathscr{O}$ l’ensemble des ouverts de X. On dit qu’une partie $\mathscr{U}$ de $\mathscr{O}$ est quasi-pleine si elle vérifie les conditions suivantes: $\alpha)$ $\mathscr{U}$ est un recouvrement de X; $\beta)$ toute partie ouverte d’un ensemble appartenant à $\mathscr{U}$ appartient à $\mathscr{U}$; $\gamma)$ toute réunion finie d’ensembles de $\mathscr{U}$ appartient à $\mathscr{U}$; $\delta)$ toute réunion d’une famille d’ensembles appartenant à $\mathscr{U}$ et deux à deux disjoints, appartient à $\mathscr{U}$. Montrer que pour que l’espace X soit paracompact, il faut et il suffit que toute partie quasi-pleine $\mathscr{U}$ de $\mathscr{O}$ soit égale à $\mathscr{O}$. (Pour voir que la condition est nécessaire, utiliser a) pour construire un recouvrement ouvert dénombrable localement fini $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de X tel que $V_n \in \mathscr{U}$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Puis, à l’aide d’une partition continue de l’unité $(f_n)$ subordonnée à

(V_n) et de la fonction $f(x) = \sum_{n > 0} n f_n(x)$, construire un recouvrement ouvert $(W_n)$ de $X$ par des ouverts de $\mathscr{U}$ tels que $\overline{W}_n \subset W_{n+1}$ pour tout $n \geq 0$. Pour voir que la condition est suffisante, étant donné un recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de $X$, considérer l’ensemble $\mathscr{U}$ des ouverts de $X$ tels que pour tout ensemble $A \in \mathscr{U}$, les intersections avec $A$ des ensembles de $\mathscr{R}$ constituent un recouvrement de $A$ possédant un recouvrement ouvert plus fin et localement fini.)