Bài tập 27, § 4

Một không gian tôpô $X$ được gọi là địa phương paracompact nếu mọi điểm của $X$ có một lân cận đóng là một không gian con paracompact của $X$.

(*) Có những không gian hoàn toàn chính quy và chính quy tập thể nhưng không metacompact, và những không gian hoàn toàn chính quy và metacompact nhưng không chính quy tập thể (và do đó không paracompact); xem E. Michael, Can. Journ. of Math. 7 (1955), tr. 275-279.

a) Chứng minh rằng một không gian địa phương paracompact là hoàn toàn chính quy.

b) Trong không gian compact $Y_0 \times Z$ được định nghĩa trong Bài tập 26 b), cho $H$ là phần bù của tập hợp các điểm $(b, y)$ trong đó $y < c$. Chứng minh rằng $H$ là chính quy nhưng không địa phương paracompact [xem Chương I, § 9, Bài tập 12 b)].

c) Cho $X$ là một không gian tôpô và cho $\Phi$ là một phủ của $X$ bởi các tập hợp đóng là các không gian con paracompact của $X$, sao cho mỗi $A \in \Phi$ có một lân cận trong $X$ thuộc về $\Phi$. Cho $X'$ là tập hợp là tổng của $X$ và một điểm $\omega$; định nghĩa một tôpô trên $X'$ bằng cách lấy làm hệ cơ sở các lân cận của $x \in X$ trong $X'$ tập hợp tất cả các lân cận của $x$ trong $X$, và làm hệ cơ sở các lân cận của $\omega$ cơ sở lọ sinh bởi các phần bù trong $X'$ của các tập hợp của $\Phi$ [xem Bài tập 20 c)]. Chứng minh rằng $X'$ là paracompact.