Exercice 3, § 4

Topologie générale, IX, p. 101

Soient $X$ un espace métrique, $d$ la distance dans $X$ , $A$ un ensemble fermé dans $X$ , $f$ une fonction numérique continue dans $A$ , prenant ses valeurs dans l’intervalle $[1, 2]$ . Montrer que la fonction numérique g définie dans X, telle que $g(x) = f(x)$ dans A et

g(x) = \frac{1}{d(x, A)} \inf_{y \in A} (f(y)d(x, y))

dans $X - A$ , est continue dans X. En déduire une démonstration du th. 2 (IX, p. 44) pour les espaces métrisables.

Solution

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