Bài tập 3, § 4

Nếu $X$ là một không gian tôpô, các điều kiện sau là tương đương:

a) Mọi không gian con của $X$ đều thỏa mãn tiên đề $(O'_V)$.

b) Mọi không gian con mở của $X$ đều thỏa mãn tiên đề $(O'_V)$.

c) Với mọi hai tập con $A$ và $B$ của $X$ sao cho $A \cap \overline{B} = B \cap \overline{A} = \varnothing$, tồn tại hai tập mở rời nhau $U, V$ sao cho $A \subset U$ và $B \subset V$.

Một không gian tôpô $X$ được gọi là chuẩn hoàn toàn nếu nó là Hausdorff và thỏa mãn các điều kiện này. Mọi không gian mêtric hóa đều là chuẩn hoàn toàn. Một không gian compact không nhất thiết là chuẩn hoàn toàn.