Exercice 31, § 4

a) Soient X un espace paracompact, R une relation d’équivalence fermée dans X, telle que toute classe d’équivalence suivant R soit compacte. Montrer que X/R est paracompact. (On sait que X/R est normal (IX, p. 105, exerc. 19). Utiliser ensuite IX, p. 107, exerc. 25 c)).¹ b) Soient X un espace séparé, R une relation d’équivalence fermée dans X, telle que toute classe d’équivalence suivant R soit compacte. Montrer que si X/R est paracompact, X est paracompact (raisonner comme dans I, p. 70, prop. 17). c) Soient Y un espace localement compact non paracompact (I, p. 106, exerc. 12), $Y_0$ l’espace compact obtenu en adjoignant à Y un point à l’infini. Soient X l’espace somme topologique de Y et $Y_0$, R la relation d’équivalence identifiant tout point de Y à son image canonique dans $Y_0$; la relation R est ouverte, toute classe d’équivalence suivant R contient au plus deux points, et X/R est homéomorphe à $Y_0$, donc compact.