Bài tập 31, § 4

a) Cho $X$ là một không gian paracompact, $R$ là một quan hệ tương đương đóng trong $X$, sao cho mọi lớp tương đương theo $R$ đều compact. Chứng minh rằng $X/R$ là paracompact. (Đã biết rằng $X/R$ là chuẩn tắc (IX, p. 105, exerc. 19). Khi đó sử dụng IX, p. 107, exerc. 25 c)).¹ b) Cho $X$ là một không gian tách, $R$ là một quan hệ tương đương đóng trong $X$, sao cho mọi lớp tương đương theo $R$ đều compact. Chứng minh rằng nếu $X/R$ là paracompact thì $X$ là paracompact (lập luận như trong I, p. 70, prop. 17). c) Cho $Y$ là một không gian compact địa phương không paracompact (I, p. 106, exerc. 12), $Y_0$ là không gian compact thu được bằng cách thêm vào $Y$ một điểm ở vô cực. Cho $X$ là không gian tổng tôpô của $Y$ và $Y_0$, $R$ là quan hệ tương đương nhận dạng mỗi điểm của $Y$ với ảnh chính tắc của nó trong $Y_0$; quan hệ $R$ là mở, mọi lớp tương đương theo $R$ chứa nhiều nhất hai điểm, và $X/R$ đẳng cấu tôpô với $Y_0$, do đó compact.