Exercice 32, § 4

a) Pour qu’un espace régulier X soit métrisable, il faut et il suffit qu’il existe une suite $(\mathscr{B}_n)$ de familles localement finies de parties ouvertes de X telle que $\mathscr{B} = \bigcup_n \mathscr{B}_n$ soit une base de la topologie de X (théorème de Nagata-Smirnov). (Pour montrer que la condition est nécessaire, utiliser le fait que X est paracompact, en considérant pour chaque n le recouvrement de X formé des boules ouvertes de rayon $1/n$. Pour voir que la condition est suffisante, montrer d’abord que X est paracompact, en utilisant IX, p. 108, exerc. 29 a) et IX, p. 113, exerc. 25 c). Pour tout couple d’entiers m, n et tout $U \in \mathscr{B}_m$, soit $U'$ la réunion des ensembles $V \in \mathscr{B}_n$ tels que $\overline{V} \subset U$; montrer que $\overline{U} \subset U$. Soit $f_U$ une application continue de X dans $(0,1)$, égale à 0 dans $X - U$ et à 1 dans $U'$, et soit

montrer que les écarts $d_{mn}$ définissant la topologie de X.) En particulier tout espace régulier ayant une base dénombrable est métrisable.

b) Montrer qu’avec les notations de a), on peut en outre supposer que chacune des familles $\mathscr{B}_n$ soit discrète (IX, p. 106, exerc. 24). (Utiliser l’exerc. 27 a) en remarquant (avec les notations de cet exercice) que dans un espace métrique, chaque $W_v$ est réunion des ouverts $W_{vm}$, où $W_{vm}$ est l’ensemble des points dont la distance à $\mathbf{C} W_v$ est $> 1/m$. En déduire que dans un espace métrisable, les conditions (D_v) et (D_I) de I, p. 90, exerc. 7, sont équivalentes.