Bài tập 32, § 4

a) Để một không gian chính quy X là mêtric hóa được, điều kiện cần và đủ là tồn tại một dãy $(\mathscr{B}_n)$ các họ hữu hạn địa phương của các phần mở của X sao cho $\mathscr{B} = \bigcup_n \mathscr{B}_n$ là một cơ sở của tôpô của X (định lý Nagata-Smirnov). (Để chứng minh rằng điều kiện là cần, dùng sự kiện X là không gian paracompact, bằng cách xét với mỗi n phủ của X tạo bởi các quả cầu mở bán kính $1/n$. Để thấy rằng điều kiện là đủ, trước hết chứng minh rằng X là paracompact, sử dụng IX, p. 108, bài tập 29 a) và IX, p. 113, bài tập 25 c). Với mọi cặp số nguyên m, n và mọi $U \in \mathscr{B}_m$, gọi $U'$ là hợp của các tập hợp $V \in \mathscr{B}_n$ sao cho $\overline{V} \subset U$; chứng minh rằng $\overline{U} \subset U$. Gọi $f_U$ là một ánh xạ liên tục của X vào $(0,1)$, bằng 0 trên $X - U$ và bằng 1 trên $U'$, và đặt

chứng minh rằng các khoảng cách $d_{mn}$ xác định tôpô của X.) Đặc biệt mọi không gian chính quy có một cơ sở đếm được đều là mêtric hóa được.

b) Chứng minh rằng với các ký hiệu của a), ngoài ra có thể giả sử rằng mỗi họ $\mathscr{B}_n$ là rời rạc (IX, p. 106, bài tập 24). (Dùng bài tập 27 a) bằng cách nhận xét (với các ký hiệu của bài tập này) rằng trong một không gian mêtric, mỗi $W_v$ là hợp của các tập mở $W_{vm}$, trong đó $W_{vm}$ là tập hợp các điểm có khoảng cách tới $\mathbf{C} W_v$ lớn hơn $> 1/m$. Suy ra rằng trong một không gian mêtric hóa được, các điều kiện (D_v) và (D_I) của I, p. 90, bài tập 7, là tương đương.)