Exercice 33, § 4

Soit X un espace métrique dont tout point x possède un voisinage $U(x)$ qui soit un sous-espace complet pour la distance de X. Montrer qu’il existe sur X une distance compatible avec la topologie de X et pour laquelle X est un espace métrique complet. (Si $\mathfrak{R}$ est

¹ On peut montrer que la conclusion subsiste si l’on suppose seulement R fermée; voir E. Michael, Proc. Amer. Math. Soc., t. VIII (1957), p. 822–828.

le recouvrement de X formé par les U(x) pour x ∈ X, considérer le voisinage V_R de la diagonale Δ dans X × X, et utiliser IX, p. 113, exerc. 26 a); en utilisant IX, p. 6, prop. 2, définir sur X une structure uniforme métrisable plus fine que la structure définie par la distance de X, compatible avec la topologie de X, et pour laquelle X soit complet.)