Bài tập 33, § 4

Cho $X$ là một không gian mêtric sao cho mỗi điểm x có một lân cận $U(x)$ là một không gian con đầy đủ đối với mêtric của X. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại trên X một mêtric tương thích với tôpô của X và theo đó X là một không gian mêtric đầy đủ. (Nếu $\mathfrak{R}$ là

¹ Có thể chứng minh rằng kết luận vẫn đúng nếu chỉ giả thiết rằng R là đóng; xem E. Michael, Proc. Amer. Math. Soc., t. VIII (1957), p. 822–828.

phủ của X tạo bởi các U(x) với x ∈ X, xét lân cận V_R của đường chéo Δ trong X × X, và sử dụng IX, p. 113, bài tập 26 a); bằng cách sử dụng IX, p. 6, mệnh đề 2, định nghĩa trên X một cấu trúc đều mêtric hóa được mịn hơn cấu trúc được xác định bởi mêtric của X, tương thích với tôpô của X, và theo đó X là đầy đủ.)