Exercice 34, § 4

a) Soient X un espace métrisable, R une relation d’équivalence fermée dans X, telle que toute classe d’équivalence suivant R soit compacte. Alors X/R est métrisable (Pour appliquer le th. de Nagata-Smirnov (IX, p. 114, exerc. 32), considérer un recouvrement $\mathscr{R} = (U_\lambda)_{\lambda \in L}$ de X formé d’ouverts saturés pour R; montrer qu’il existe une suite $(\mathscr{S}_n)$ ayant les propriétés suivantes : 1° chaque $\mathscr{S}_n$ est une famille localement finie d’ensembles ouverts dans X saturés pour R ; 2° $\mathscr{S} = \bigcup_n \mathscr{S}_n$ est un recouvrement ouvert de X plus fin que $\mathscr{R}$.

Pour cela, munir L d’une structure d’ensemble bien ordonné; soit d une distance définissant la topologie de X; pour tout $\lambda \in L$ et tout entier $n > 0$, soit $W_{n,\lambda}$ le plus grand ensemble ouvert saturé pour R contenu dans l’ensemble des $x \in X$ tels que $d(x, X - U_\lambda) > 2^{-n}$, $F_{n,\lambda}$ le saturé pour R de l’ensemble des $x \in X$ tels que $d(x, X - U_\lambda) \geq 2^{-n}$, $G_{n,\lambda}$ l’ensemble des $x \in W_{n,\lambda}$ tels que $x \notin F_{n+1,\mu}$ pour $\mu < \lambda$, $V_{n,\lambda}$ le plus grand ensemble ouvert saturé contenu dans l’ensemble des $y \in X$ tels que $d(x, G_{n,\lambda}) < 2^{-n-3}$. Montrer que l’ensemble $\mathscr{S}_n$ des $V_{n,\lambda}$ pour $\lambda \in L$ répond à la question.)

b) Etendre le résultat de a) au cas où l’on suppose la relation R fermée et l’espace X/R tel que tout point admette un système fondamental dénombrable de voisinages (cf. IX, p. 96, exerc. 23 b).

c) Soient X un espace topologique, $(F_\alpha)$ un recouvrement fermé localement fini de X. Montrer que si chacun des sous-espaces $F_\alpha$ est métrisable, X est métrisable (considérer X comme espace quotient de la somme topologique des F).

d) Montrer qu’un espace paracompact dont tout point admet un voisinage métrisable est métrisable (appliquer c)). (Cf. I, p. 114, exerc. 22 b) et IX, p. 113, exerc. 14 b).)