Bài tập 34, § 4

a) Cho X là một không gian mêtric, R là một quan hệ tương đương đóng trong X, sao cho mọi lớp tương đương theo R đều compact. Khi đó X/R là mêtric (Để áp dụng định lý Nagata-Smirnov (IX, p. 114, exerc. 32), xét một phủ $\mathscr{R} = (U_\lambda)_{\lambda \in L}$ của X tạo bởi các tập mở bão hòa đối với R; hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy $(\mathscr{S}_n)$ có các tính chất sau: 1° mỗi $\mathscr{S}_n$ là một họ hữu hạn địa phương các tập mở trong X bão hòa đối với R; 2° $\mathscr{S} = \bigcup_n \mathscr{S}_n$ là một phủ mở của X mịn hơn $\mathscr{R}$.

Để làm điều này, trang bị cho L một cấu trúc có thứ tự tốt; gọi d là một khoảng cách xác định tôpô của X; với mọi $\lambda \in L$ và mọi số nguyên $n > 0$, gọi $W_{n,\lambda}$ là tập mở lớn nhất bão hòa đối với R được chứa trong tập các $x \in X$ sao cho $d(x, X - U_\lambda) > 2^{-n}$, $F_{n,\lambda}$ là tập bão hòa đối với R của tập các $x \in X$ sao cho $d(x, X - U_\lambda) \geq 2^{-n}$, $G_{n,\lambda}$ là tập các $x \in W_{n,\lambda}$ sao cho $x \notin F_{n+1,\mu}$ với $\mu < \lambda$, $V_{n,\lambda}$ là tập mở lớn nhất bão hòa được chứa trong tập các $y \in X$ sao cho $d(x, G_{n,\lambda}) < 2^{-n-3}$. Hãy chứng minh rằng tập hợp $\mathscr{S}_n$ gồm các $V_{n,\lambda}$ với $\lambda \in L$ trả lời câu hỏi.)

b) Mở rộng kết quả của a) sang trường hợp giả sử quan hệ R đóng và không gian X/R sao cho mỗi điểm thừa nhận một hệ cơ bản đếm được các lân cận (xem IX, p. 96, exerc. 23 b).

c) Cho X là một không gian tôpô, $(F_\alpha)$ là một phủ đóng hữu hạn địa phương của X. Hãy chứng minh rằng nếu mỗi không gian con $F_\alpha$ là mêtric, thì X là mêtric (xét X như một không gian thương của tổng tôpô của các F).

d) Hãy chứng minh rằng một không gian paracompact mà mỗi điểm có một lân cận mêtric là mêtric (áp dụng c)). (Xem I, p. 114, exerc. 22 b) và IX, p. 113, exerc. 14 b).)