Exercice 35, § 4

On dit qu’un espace séparé X est métacompact si pour tout recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de X, il existe un recouvrement ouvert de X plus fin que $\mathscr{R}$ et ponctuellement fini.

a) Montrer que tout sous-espace fermé d’un espace métacompact est métacompact; si tout sous-espace ouvert d’un espace métacompact X est métacompact, alors tout sous-espace de X est métacompact.

b) Soient X un espace séparé, R une relation d’équivalence fermée dans X telle que toute classe d’équivalence suivant R soit compacte. Montrer que si X/R est métacompact, X est métacompact (raisonner comme dans IX, p. 109, exerc. 31 b)).

c) Montrer qu’un espace qui est à la fois métacompact et semi-compact (IX, p. 93, exerc. 13) est compact. (Remarquer, à l’aide du th. de Zorn, que tout recouvrement ouvert ponctuellement fini contient un recouvrement ouvert minimal et utiliser l’exerc. 13 a) de IX, p. 93).

d) L’espace localement compact et complètement normal $X = (a, b[$ défini dans l’exerc. 12 de I, p. 106, n’est pas métacompact¹.

e) Soient Y un espace métrisable, A une partie de Y partout dense ainsi que son complémentaire dans Y. On désigne par X l’espace non régulier obtenu en munissant Y de la topologie engendrée par les ensembles ouverts de Y et l’ensemble A (I, p. 103, exerc. 20). Montrer que X est métacompact. (Considérer pour tout $x \in X$ un voisinage $V_x$ de x contenu dans un ensemble d’un recouvrement ouvert donné $\mathscr{R}$ de X, tel que $V_x \subset A$ si $x \in A$ et que $V_x$ soit un voisinage de x dans Y si $x \notin A$. Remarquer que A, considéré comme sous-espace de Y, est paracompact, et qu’il en est de même de la réunion des $V_x$ pour $x \in A$, considérée comme sous-espace de Y.)

¹ Il y a des espaces qui sont parfaitement normaux, collectivement normaux et non métacompacts, et des espaces qui sont parfaitement normaux, métacompacts et non collectivement normaux (donc non paracompacts); cf. E. Michael, Can. Journ. of Math., t. VII (1955), p. 275–279.