Bài tập 35, § 4

Ta nói rằng một không gian tách được X là nửa tôpô compact nếu với mọi phủ mở $\mathscr{R}$ của X, tồn tại một phủ mở của X mịn hơn $\mathscr{R}$ và hữu hạn điểm.

(a) Bây giờ chứng minh rằng mọi không gian con đóng của một không gian nửa tôpô compact là nửa tôpô compact; nếu mọi không gian con mở của một không gian nửa tôpô compact X là nửa tôpô compact, thì mọi không gian con của X là nửa tôpô compact.

(b) Cho X là một không gian tách được, R là một quan hệ tương đương đóng trong X sao cho mọi lớp tương đương theo R là compact. Bây giờ chứng minh rằng nếu X/R là nửa tôpô compact thì X là nửa tôpô compact (lập luận như trong IX, p. 109, exerc. 31 b)).

(c) Bây giờ chứng minh rằng một không gian đồng thời là nửa tôpô compact và nửa compact (IX, p. 93, exerc. 13) là compact. (Nhận xét, với sự trợ giúp của định lý Zorn, rằng mọi phủ mở hữu hạn điểm chứa một phủ mở cực tiểu và dùng exerc. 13 a) của IX, p. 93).

(d) Không gian địa phương compact và hoàn toàn chính quy $X = (a, b[$ được định nghĩa trong exerc. 12 của I, p. 106, không phải là nửa tôpô compact¹.

(e) Cho Y là một không gian mêtric hóa được, A là một tập con của Y trù mật khắp nơi cũng như phần bù của nó trong Y. Ta ký hiệu X là không gian không chính quy thu được bằng cách trang bị cho Y tôpô sinh bởi các tập mở của Y và tập A (I, p. 103, exerc. 20). Bây giờ chứng minh rằng X là nửa tôpô compact. (Xét với mỗi $x \in X$ một lân cận $V_x$ của x được chứa trong một phần tử của một phủ mở đã cho $\mathscr{R}$ của X, sao cho $V_x \subset A$ nếu $x \in A$ và $V_x$ là một lân cận của x trong Y nếu $x \notin A$. Nhận xét rằng A, được xét như một không gian con của Y, là paracompact, và điều tương tự cũng đúng đối với hợp của các $V_x$ với $x \in A$, được xét như một không gian con của Y.)

¹ Có những không gian hoàn toàn chính quy, chuẩn tập thể và không phải là nửa tôpô compact, và những không gian hoàn toàn chính quy, nửa tôpô compact và không chuẩn tập thể (do đó không paracompact); xem E. Michael, Can. Journ. of Math., t. VII (1955), p. 275–279.