Exercice 36, § 4

On dit qu’un espace topologique X est localement paracompact si tout point x ∈ X admet dans X un voisinage fermé qui est un sous-espace paracompact.

a) Montrer qu’un espace localement paracompact est complètement régulier.

b Dans la planche de Tychonoff P (IX, p. 85, exerc. 8), soit H le complémentaire de l’ensemble des points (n, ω₁). Montrer que H est un espace normal non localement paracompact (cf. I, p. 106, exerc. 12).

c) Soient X un espace topologique, Φ un recouvrement de X formé d’ensembles fermés qui sont des sous-espaces paracompacts de X et sont tels que tout A ∈ Φ admette un voisinage dans X appartenant à Φ. Soit X’ l’ensemble somme de X et d’un point ω ; on définit sur X’ une topologie en prenant comme système fondamental de voisinages de x ∈ X dans X’ l’ensemble des voisinages de x dans X, et comme système fondamental de voisinages de ω la base de filtre engendrée par les complémentaires dans X’ des ensembles de Φ (cf. IX, p. 109, exerc. 30)). Montrer que X’ est un espace paracompact.