Bài tập 36, § 4

Người ta nói rằng một không gian tôpô X là địa phương paracompact nếu mọi điểm x ∈ X thừa nhận trong X một lân cận đóng là một không gian con paracompact.

a) Bây giờ chứng minh rằng một không gian địa phương paracompact là chính quy hoàn toàn.

b) Trong mặt phẳng Tychonoff P (IX, p. 85, Bài tập 8), cho H là phần bù của tập hợp các điểm (n, ω₁). Bây giờ chứng minh rằng H là một không gian chuẩn tắc không là địa phương paracompact (xem I, p. 106, Bài tập 12).

c) Cho X là một không gian tôpô, Φ là một phủ của X tạo thành bởi các tập hợp đóng là các không gian con paracompact của X và sao cho mọi A ∈ Φ thừa nhận một lân cận trong X thuộc về Φ. Cho X’ là tập hợp tổng của X và một điểm ω; người ta xác định trên X’ một tôpô bằng cách lấy làm hệ cơ sở các lân cận của x ∈ X trong X’ tập hợp các lân cận của x trong X, và làm hệ cơ sở các lân cận của ω cơ sở lọc sinh bởi các phần bù trong X’ của các tập hợp của Φ (xem IX, p. 109, Bài tập 30)). Bây giờ chứng minh rằng X’ là một không gian paracompact.