Exercice 5, § 4

Soient X un espace uniforme séparé, A une partie fermée de X, f une fonction numérique bornée et uniformément continue dans A. Montrer qu’il existe un prolongement $\tilde{f}$ de f à X qui est une fonction bornée et uniformément continue dans X. (On peut supposer $f(A) \subset [0, 1]$. Pour tout nombre dyadique $r \in [0, 1]$, considérer l’ensemble $A(r)$ de $x \in A$ tels que $f(x) \leq r$, et l’ensemble $B(r) = A(r) \cup (X - A)$; puis en suivant la même marche que dans la démonstration de IX, p. 42, th. 1, définir pour chaque nombre dyadique $r \in [0, 1]$ un ensemble ouvert $U(r)$ tel que, pour $r < r'$, il existe un entourage V de la structure uniforme de X tel que $V(A(r)) \subset U(r')$, $V(U(r)) \subset U(r')$, $V(U(r)) \subset B(r')$.)