Exercice 17, § 5

a) Montrer que, dans un espace métrique complet, tout ensemble parfait contient une partie homéomorphe à l’ensemble triadique de Cantor $K$ (IV, p. 9) (utiliser l’exerc. 11 de IV, p. 63).

b) En déduire que, dans un espace métrique complet ayant une base dénombrable, tout ensemble parfait a la puissance du continu; tout ensemble fermé est dénombrable ou a la puissance du continu (utiliser I, p. 108, exerc. 17); tout ensemble ouvert est dénombrable ou a la puissance du continu.

c) Montrer que dans un espace métrique complet non dénombrable et ayant une base dénombrable, l’ensemble des sous-ensembles parfaits a la puissance du continu. (Le démontrer d’abord pour l’espace compact $\{0, 1\}^\mathbf{N}$, puis utiliser $a$ et IX, p. 92, exerc. 11 b)).

d) Soit $X$ un espace métrique complet non dénombrable et ayant une base dénombrable. Montrer qu’il existe une partie $Z \subset X$ telle que $Z$ et $X - Z$ aient la puissance du continu et que ni $Z$, ni $X - Z$ ne contiennent d’ensemble parfait non vide. (Utiliser $b$ et $c$ et la méthode décrite dans E, III, p. 91, exerc. 24a)). Si en outre $X$ n’a aucun point isolé, montrer que ni $Z$ ni $X - Z$ ne sont maigres. (Si $A$ est une intersection dénombrable d’ensembles ouverts partout denses de $X$, montrer que $A$ contient des ensembles parfaits non vides, en utilisant $c$ et IX, p. 58). En déduire que, dans ce cas, $Z$ n’est pas un ensemble approchable dans $X$ (IX, p. 91, exerc. 6; noter que le raisonnement précédent montre que pour toute partie ouverte non vide $U$ de $X$, $U \cap Z$ est non maigre).