Exercice 11, § 6

a) Soient X un espace polonais, R une relation d’équivalence dans X. Montrer qu’il existe dans X un ensemble intersection dénombrable d’ensembles ouverts, rencontrant chaque classe d’équivalence suivant R en un point et un seul, lorsque l’une des deux hypothèses suivantes est vérifiée: $\alpha$ R est fermée (Suivre la méthode de démonstration du th. 4 de IX, p. 69, en utilisant la remarque suivante: si $(G_n)$ est une suite d’ensembles dont chacun est intersection dénombrable d’ensembles ouverts, et si pour tout $n$ il existe un voisinage $V_n$ de $G_n$ telle que la famille $(V_n)$ soit localement finie, alors $\bigcup_n G_n$ est intersection dénombrable d’ensembles ouverts). $\beta$ X est localement compact et le graphe de R est fermé dans $X \times X$. (Même méthode, en observant que le saturé d’un ensemble compact est alors fermé; cf. I, p. 113, exerc. 16). b) Soient X un espace polonais, R une relation d’équivalence dans X, à la fois ouverte et fermée, $\varphi$ l’application canonique de X sur X/R. Montrer qu’il existe dans X une partie A, intersection dénombrable d’ensembles ouverts dans X, telle que la restriction de $\varphi$ à A soit un homéomorphisme de A sur $\varphi(A)$ et que $\varphi(A)$ soit partout dense dans X/R et intersection dénombrable d’ensembles ouverts. (Avec les notations de la démonstration du th. 4 de IX, p. 69, montrer qu’on peut supposer pour chaque $n$ les $\varphi_n(c)$ définis de sorte que la réunion des intérieurs des $h_n(c)$ ($c \in C_n$) ait une image dans X/R qui soit partout dense; utiliser a) et le th. 1 de IX, p. 58.) c) Montrer que la conclusion de b) est encore valable lorsque X est un espace localement compact ayant une base dénombrable, R une relation d’équivalence fermée dans X, telle que toute classe suivant R soit compacte. (Se ramener au cas b) en utilisant l’exerc. 26 de IX, p. 116.)