Exercice 3, § 1

Montrer que le groupe $\mathbf{T}$ est algébriquement isomorphe au produit $\mathbf{R} \times (\mathbf{Q}/\mathbf{Z})$ (prendre dans $\mathbf{R}$ une base de Hamel convenable). En déduire qu’il y a sur $\mathbf{R}$ une topologie séparée compatible avec sa structure de groupe, non comparable à la topologie usuelle, et pour laquelle $\mathbf{R}$ est précompact.