Exercice 1, § 2

Soient $E$ un ensemble totalement ordonné ayant un plus petit élément $\omega$, $I$ un intervalle de $E$ d’origine $\omega$ et contenant $\omega$. On suppose que $E$ et $I$ vérifient les axiomes (GR_I), (GR_{II}), (GR_{IV}) et l’axiome suivant: (GR_{IIIb}) L’ensemble des éléments $x > \omega$ de $I$ n’est pas vide, et quel que soit $x > \omega$ dans $I$, il existe $y > \omega$ dans $I$ tel que $y^2 \leqslant x$. Montrer qu’il existe une application croissante $f$ de $I$ dans $\mathbf{R}$, telle que $f(\omega) = 0$ et $f(xy) = f(x) + f(y)$ pour $x \in I, y \in I$ et $xy \in I$; en outre $f(I) \cap [0, f(b)]$ est dense dans $[0, f(b)]$ pour tout $b \in I$.