Bài tập 1, § 2

Cho $E$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính với một phần tử nhỏ nhất $\omega$, và cho $I$ là một khoảng của $E$, chứa $\omega$, với $\omega$ là điểm đầu bên trái của nó. Giả sử rằng $E$ và $I$ thỏa mãn các tiên đề (GR_I), (GR_{II}), (GR_{IV}) và tiên đề sau:

(GR_{IIIb}) Tập hợp các phần tử $x > \omega$ trong $I$ là không rỗng, và nếu $x$ là một phần tử bất kỳ $> \omega$ trong $I$, thì tồn tại $y > \omega$ trong $I$ sao cho $y^2 \leq x$.

Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tăng $f$ của $I$ vào $\mathbf{R}$, sao cho $f(\omega) = 0$ và $f(xy) = f(x) + f(y)$ bất cứ khi nào $x, y$ và $xy$ thuộc $I$; đồng thời $f(I) \cap [0, f(b)]$ là trù mật trong $[0, f(b)]$ với mọi $b \in I$.