Exercice 2, § 2

Soit $G$ un groupe non commutatif totalement ordonné non réduit à l’élément neutre (par exemple le groupe multiplicatif $K^*$ d’un corps ordonné non commutatif; cf. A, VI, § 1, exerc. 1 et § 2, exerc. 23). On considère, dans l’ensemble $\mathbf{R}_+ \times G$, l’ensemble $E$ formé du couple $(0, e)$ (où $e$ est l’élément neutre de $G$) et des couples $(x, y)$, où $x$ parcourt l’ensemble des nombres réels $> 0$ et $y$ parcourt $G$. On prend dans $E$ la loi de composition $(x, y)(x', y') = (x + x', yy')$, et on ordonne $E$ lexicographiquement (en posant $(x, y) < (x', y')$ si $x < x'$ ou si $x = x'$ et $y < y'$). Si on prend $I = E$, montrer que les axiomes (GR_I), (GR_{II}), (GR_{IIIb}) (exerc. 1) et (GR_{IV}) sont vérifiés; mais si $f$ est une application croissante de $E$ dans $\mathbf{R}_+$ telle que $f(zz') = f(z) + f(z')$ pour $z, z'$ dans $E$, $f$ n’est pas strictement croissante.