Bài tập 2, § 2

Cho $G$ là một nhóm có thứ tự tuyến tính không giao hoán (chẳng hạn nhóm nhân của một vành chia có thứ tự không giao hoán). Trong tập hợp $\mathbf{R}_+ \times G$ xét tập hợp $E$ gồm $(0, e)$ ($e$ là phần tử đơn vị của $G$) và mọi cặp $(x, y)$ trong đó $x$ là một số thực bất kỳ $> 0$ và $y$ là một phần tử bất kỳ của $G$. Định nghĩa một luật hợp thành trên $E$ bởi quy tắc $(x, y)(x', y') = (x + x', yy')$, và sắp thứ tự $E$ theo thứ tự từ điển [nghĩa là $(x, y) < (x', y')$ nếu $x < x'$ hoặc nếu $x = x'$ và $y < y'$]. Nếu ta lấy $I = E$, hãy chứng minh rằng các tiên đề (GR_I), (GR_{II}), (GR_{IIIb}) (Bài tập 1) và (GR_{IV}) được thỏa mãn; nhưng nếu $f$ là một ánh xạ tăng của $E$ vào $\mathbf{R}_+$ sao cho $f(zz') = f(z) + f(z')$ với mọi $a$ và $z'$ trong $E$, thì $f$ không tăng ngặt.