Exercice 1, § 3

On dit qu’un groupe totalement ordonné $G$ (non nécessairement commutatif, cf. A, VI, § 1, exerc. 1) est archimédien si l’ensemble $I$ des éléments $\geqslant e$ (élément neutre de $G$) vérifie l’axiome (GR_{IV}) du § 2 (cf. A, VI, § 1, exerc. 33). Montrer que, pour qu’un groupe totalement ordonné $G$ soit isomorphe à un sous-groupe du groupe additif $\mathbf{R}$, il faut et il suffit que $G$ soit archimédien (distinguer deux cas suivant que l’ensemble des éléments $> e$ dans $G$ a ou non un plus petit élément, et utiliser la prop. 1 de V, p. 7).