Bài tập 1, § 3

Một nhóm có thứ tự tuyến tính $G$ (không nhất thiết giao hoán) được gọi là Archimedean nếu tập hợp $I$ gồm các phần tử $\geq e$ (phần tử đơn vị của $G$) thỏa mãn tiên đề (GR_{IV}) của § 2. Chứng minh rằng một nhóm có thứ tự tuyến tính $G$ đẳng cấu với một nhóm con của nhóm cộng $\mathbf{R}$ khi và chỉ khi $G$ là Archimedean (phân biệt hai trường hợp tùy theo tập hợp các phần tử $> e$ trong $G$ có hay không có một phần tử nhỏ nhất, và sử dụng Mệnh đề 1 của § 2).

3) Cho $G$ là một nhóm có thứ tự tuyến tính (không nhất thiết giao hoán). Nếu $G$, được trang bị tôpô $\mathscr{T}_0(G)$, là compact địa phương và không rời rạc, thì $G$ là đẳng cấu địa phương với $\mathbf{R}$, và thành phần đơn vị của $G$ là một nhóm con mở đẳng cấu với $\mathbf{R}$ (sử dụng Bài tập 6 của Chương IV, § 2, và Mệnh đề 2 của § 2).

4) Cho $G$ là một nhóm tôpô thỏa mãn các điều kiện sau: (R_I) $G$ là liên thông. (R_{II}) Phần bù $G^*$ của phần tử đơn vị $e$ của $G$ không liên thông.

Khi đó tồn tại một đồng cấu song ánh liên tục của $G$ lên $\mathbf{R}$ (nói cách khác, $G$ đẳng cấu đại số với $\mathbf{R}$ và tôpô của nó mịn hơn tôpô của $\mathbf{R}$). Chứng minh gồm nhiều bước:

a) Cho $(U_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một phân hoạch của $G^*$ thành các tập hợp mở trong $G^*$ ($n \geq 2$). Chứng minh rằng mỗi $U_i$ là mở trong $G$, rằng $e$ thuộc vào mỗi $\overline{U}_i$, và rằng $G$ là Hausdorff. Suy ra rằng các bao đóng $\overline{U}_i = U_i \cup \{e\}$ trong $G$ là liên thông (Chương I, § 11, Bài tập 4).

b) Cho $A$ là một thành phần liên thông của $U_i$. Chứng minh rằng với mỗi chỉ số $j \neq i$, ta có $A^{-1} \overline{U}_j = A^{-1}$ (nhận xét rằng $A^{-1} \overline{U}_j$ là liên thông và chứa $A^{-1}$, và rằng $A^{-1} \overline{U}_j \subset G^*$ nếu $j \neq i$).

c) Chứng minh rằng $n$ phải bằng 2 [với mỗi chỉ số $i = 1, 2, \ldots, n$ lấy một thành phần $A_i$ của $U_i$; nếu $j \neq i$ thì theo b), $A_i^{-1} A_j \subset A_i^{-1}$, $A_j^{-1} A_i \subset A_j^{-1} \subset U_j^{-1}$, do đó $A_i^{-1} \subset U_j$]. Suy ra rằng $G^*$ có đúng hai thành phần $A$ và $B$, rằng $B = A^{-1}$ và $\overline{A} = C(A^{-1})$.

d) Quan hệ $y x^{-1} \in \overline{A}$ là một quan hệ thứ tự, biến $G$ thành một nhóm có thứ tự tuyến tính (chứng minh rằng $\overline{A}^2 = \overline{A}$ và rằng $x \overline{A} x^{-1} = \overline{A}$ với mọi $x \in G$).

e) Tôpô $\mathscr{T}_0(G)$ thô hơn tôpô đã cho $\mathscr{T}$ trên $G$ (nhận xét rằng $A$ là mở đối với $\mathscr{T}$).

Hoàn thành chứng minh bằng cách sử dụng Bài tập 2 ở trên và Chương I, § 11, no. 2, Mệnh đề 4. [Xem Chương VI, § 1, Bài tập 12 b).]

f) Chứng minh rằng nếu ngoài ra ta giả sử $G$ hoặc là compact địa phương hoặc là liên thông địa phương, thì $G$ đẳng cấu với $\mathbf{R}$.

\* 5) Cho một ví dụ về một tôpô trên $\mathbf{R}$, tương thích với cấu trúc nhóm, sao cho $\mathbf{R}$ liên thông, compact địa phương và liên thông địa phương, và sao cho phần bù của $\{0\}$ trong $\mathbf{R}$ là liên thông (sử dụng sự kiện rằng $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}^n$ đẳng cấu đại số). \*

¶ 6) Cho $G$ là một nhóm tôpô thỏa mãn các điều kiện sau: (LR_I) $G$ là Hausdorff và liên thông địa phương.

(LR_{II}) Tồn tại một lân cận liên thông $U$ của phần tử đơn vị $e$ của $G$ sao cho phần bù của $e$ trong $U$ không liên thông. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, $G$ là đẳng cấu địa phương với $\mathbf{R}$. [Trước hết hãy chứng minh rằng nếu $V$ là một lân cận liên thông bất kỳ của $e$ trong $G$ được chứa trong $U$, thì $V \cap C\{e\}$ không liên thông, rằng $e$ nằm trong bao đóng của mọi thành phần của $V \cap C\{e\}$, và rằng $V \cap C\{e\}$ có đúng hai thành phần, bằng cách lập luận như trong Bài tập 4. Sau đó lấy lân cận liên thông $V$ đủ nhỏ và định nghĩa một thứ tự tuyến tính trên $V$ sao cho $\mathscr{C}_0(V)$ thô hơn tôpô cảm sinh trên $V$ bởi tôpô của $G$, và sao cho Mệnh đề 2 của § 2 áp dụng cho tập hợp $E$ các phần tử $\geq e$ của $V$.]

7) Cho $G$ là một nhóm compact địa phương không rời rạc với một cơ sở đếm được của các tập mở, và cho $V_0$ là một lân cận compact của phần tử đơn vị $e$ của $G$ chứa không có nhóm con nào của $G$ ngoài $\{e\}$.

(a) Cho $(x_n)$ là một dãy các điểm của $V_0$ hội tụ đến $e$. Với mỗi $n$, tồn tại một số nguyên $p(n) > 0$ sao cho $x_n^k \in V_0$ với mọi $k \leq p(n)$ và $x_n^{p(n)+1} \notin V_0$, và ta có $\lim_{n \to \infty} p(n) = +\infty$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy con $(x_{k_n})$ của $(x_n)$ sao cho, với mọi số hữu tỉ $r$ thỏa mãn $|r| \leq 1$, dãy $(x_{k_n}^{\lfloor rp(k_n)\rfloor})$ có một giới hạn $f(r)$ trong $V_0$ (sử dụng kỹ thuật đường chéo); và rằng nếu $r, r'$ là các số hữu tỉ sao cho $|r| \leq 1, |r'| \leq 1$ và $|r + r'| \leq 1$ thì ta có

b) Chứng minh rằng $f$ liên tục trong một lân cận của $0$ trong $\mathbf{Q}$. [Lập luận bằng phản chứng: nếu tồn tại một dãy $(r_n)$ các số hữu tỉ tiến đến $0$ và sao cho $f(r_n)$ tiến đến một phần tử $y \neq e$ trong $V_0$, chứng minh rằng ta phải có $y^m \in V_0$ với mọi số nguyên $m$.]

c) Suy ra từ b) rằng tồn tại một đồng cấu liên tục không tầm thường từ $\mathbf{R}$ vào $G$ (sử dụng Mệnh đề 6 của § 1).

d) Cho $H$ là một nhóm con chuẩn đóng của $G$ khác với chính $G$, và giả sử rằng tồn tại một lân cận của phần tử đơn vị trong $G/H$ không chứa nhóm con không tầm thường nào. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu liên tục $f : \mathbf{R} \to G$ sao cho hợp thành

là không tầm thường.

8) Cho $G$ là một nhóm tôpô và cho $H$ là một nhóm con đóng của $G$, được chứa trong tâm của $G$, và sao cho tồn tại một đồng cấu toàn ánh liên tục $\varphi : \mathbf{R} \to G/H$. Chứng minh rằng $G$ là Abel [nếu $a_0$ là một phần tử của $G$ không thuộc $H$, nhận xét rằng tồn tại một dãy $(a_n)$ các phần tử của $G$ và một dãy $(c_n)$ các phần tử của $H$ sao cho $a_n = c_n a_{n+1}$ và nhóm con của $G$ sinh bởi $H$ và các $a_n$ là trù mật trong $G$].