Ý nghĩa của định lý này là nó cho phép ta suy ra, từ một tính chất tôpô thuần túy của một nhóm $G$, một tính chất của cấu trúc nhóm của $G$.

Ở đây ta quan tâm đến một hiện tượng đặc thù của nhóm $\mathbf{R}$ và không có tương tự nào đối với các nhóm $\mathbf{R}^n$ khi $n > 1$ (xem Chương VIII, § 1, no. 4). Các nhóm địa phương đẳng cấu với $\mathbf{R}$ đôi khi được gọi là các nhóm một tham số.

Để chứng minh Định lý 1 ta sẽ rút gọn nó về Mệnh đề 2 của § 2. Theo giả thiết, có một đồng phôi $\varphi$ của một lân cận mở $U$ của phần tử đơn vị $e$ của $G$ lên một khoảng mở trong $\mathbf{R}$. Bằng ánh xạ ngược của ánh xạ $\varphi$ ta có thể chuyển sang $U$ cấu trúc thứ tự tuyến tính của khoảng $\varphi(U)$; tôpô của $U$ (cảm sinh bởi tôpô của $G$) khi đó có một cơ sở gồm tất cả các khoảng mở của $U$ (Chương

Ta chứng minh rằng, nếu x, y, z thuộc V, thì quan hệ x < y kéo theo xz < yz và zx < zy. Thật vậy, các hàm f_1(z) = φ(yz) − φ(xz) và f_2(z) = φ(zy) − φ(zx) liên tục trên V; chúng > 0 với z = e và không triệt tiêu trong V [chẳng hạn, nếu ta có φ(yz) = φ(xz), thì ta sẽ có yz = xz và do đó y = x]. Vì f_1(V) và f_2(V) liên thông (Chương I, § 11, no. 2, Mệnh đề 4) và do đó là các khoảng trong R (Chương IV, § 2, no. 5, Định lý 4), và vì mỗi khoảng này đều chứa một số > 0 và không chứa 0, chúng được chứa trong R^*_+ : nghĩa là ta có f_1(z) > 0 và f_2(z) > 0 với mọi z ∈ V.

Nếu x và y là hai phần tử của V sao cho x ≥ e và y ≥ e, thì đặc biệt ta có xy ≥ e. Gọi E là tập hợp (có thứ tự tuyến tính) các phần tử của U thỏa mãn ≥ e, và gọi I là tập hợp các phần tử của V thỏa mãn ≥ e; khi đó các tiên đề (GR_I), (GR_{II}), (GR_{IIIa}) và (GR_{IVa}) của § 2 được thỏa mãn (lấy ω là phần tử e, và luật hợp thành là luật của nhóm G). Điều này hiển nhiên đối với (GR_I), (GR_{II}) và (GR_{IVa}), từ những điều trên. Đối với (GR_{IIIa}), chỉ cần nhận xét rằng, nếu e < x < y (x ∈ V, y ∈ V), thì ta có x^{-1} ∈ V, do đó x^{-1} < e < x^{-1}y và x^{-1}y < y; do đó z = x^{-1}y thuộc I và ta có xz = y. Theo Mệnh đề 2 của § 2, tồn tại vì thế một ánh xạ tăng ngặt f của I lên một khoảng của R, có điểm đầu bên trái 0, sao cho f(e) = 0 và f(xy) = f(x) + f(y) bất cứ khi nào x, y và xy thuộc I (điều này sẽ xảy ra bất cứ khi nào x và y thuộc W ∩ I, W là một lân cận của e sao cho W.W ⊂ V).

Với mọi phần tử x ∈ V không thuộc I ta có x < e, do đó x^{-1} > e; vì thế ta có thể mở rộng f thành một ánh xạ tăng ngặt $\overline{f}$ của V lên một khoảng của R bằng cách đặt $\overline{f}(x) = -f(x^{-1})$ với mọi x < e trong V. Ảnh ngược dưới $\overline{f}$ của một khoảng mở chứa trong $\overline{f}(V)$ là một khoảng mở của V, do đó $\overline{f}$ liên tục trên V; ngược lại, ảnh dưới $\overline{f}$ của một khoảng mở của V là một khoảng mở của $\overline{f}(V)$, và vì vậy $\overline{f}$ là một đồng phôi của V lên một lân cận của 0 trong nhóm R. Mặt khác, dễ dàng kiểm tra (như trong Mệnh đề 6 của § 1, no. 4, bằng cách xét các trường hợp có thể xảy ra) rằng ta có $\overline{f}(xy) = \overline{f}(x) + \overline{f}(y)$ bất cứ khi nào x, y và xy đều thuộc V; và do đó ta kết luận rằng $\overline{f}$, hạn chế trên một lân cận thích hợp của e trong G, là một đẳng cấu địa phương của G với R (Chương III, § 1, no. 3, Mệnh đề 3).

Q.E.D.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của định lý trước đó, cùng với Mệnh đề 7 của § 1, no. 4.