Exercice 4, § 3

Soit $G$ un groupe topologique satisfaisant aux conditions suivantes: (R_I) $G$ est connexe. (R_{II}) Le complémentaire $G^*$ de l’élément neutre $e$ de $G$ est non connexe. Dans ces conditions, il existe un homomorphisme continu bijectif de $G$ sur $\mathbf{R}$ (autrement dit,

G est algébriquement isomorphe à $\mathbf{R}$ et sa topologie est plus fine que celle de $\mathbf{R}$. On établira successivement les propriétés suivantes:

a) Soit $(U_i)_{1 \leq i \leq n}$ une partition de $G^*$ formée d’ensembles ouverts dans $G^*$ ($n \geq 2$). Montrer que chacun des ensembles $U_i$ est ouvert dans $G$, que $e$ est adhérent à chacun d’eux et que $G$ est séparé. En déduire que les adhérences $\overline{U}_i = U_i \cup \{e\}$ dans $G$ sont connexes (I, p. 115, exerc. 4).

b) Soit $A$ une composante connexe de $U_i$; montrer que pour tout indice $j \neq i$, on a $A^{-1} \overline{U}_j = A^{-1}$ (observer que $A^{-1} \overline{U}_j$ est connexe et contient $A^{-1}$, et que $A^{-1} \overline{U}_j \subset G^*$ pour $j \neq i$).

c) Montrer qu’on a nécessairement $n = 2$ (prendre pour chaque indice $i$ tel que $1 \leq i \leq n$, une composante connexe $A_i$ de $U_i$; pour $j \neq i$, on a, par b), $A_i^{-1} A_j \subset A_i^{-1}$, $A_j^{-1} A_i \subset A_i^{-1} \subset U_j^{-1}$, d’où $A_j^{-1} \subset U_j$). En déduire que $G^*$ a exactement deux composantes connexes $A, B$, que $B = A^{-1}$ et $\overline{A} = C(A^{-1})$.

d) La relation $yx^{-1} \in \overline{A}$ est une relation d’ordre faisant de $G$ un groupe totalement ordonné (montrer que $\overline{A}^2 = \overline{A}$ et que $x \overline{A} x^{-1} = \overline{A}$ quel que soit $x \in G$).

e) La topologie $\mathscr{T}_0(G)$ est moins fine que la topologie donnée $\mathscr{T}$ sur $G$ (remarquer que $A$ est ouvert pour $\mathscr{T}$).

Conclure à l’aide de l’exerc. 2 ci-dessus et de I, p. 82, prop. 4. (Cf. VI, p. 23, exerc. 12b).)

f) Montrer que si on suppose en outre $G$ localement compact, ou localement connexe, $G$ est isomorphe à $\mathbf{R}$.