Bài tập 4, § 3

Cho $G$ là một nhóm tôpô thỏa mãn các điều kiện sau: (R_I) $G$ là liên thông. (R_{II}) Phần bù $G^*$ của phần tử đơn vị $e$ của $G$ không liên thông. Dưới các điều kiện này, tồn tại một đồng cấu song ánh liên tục của $G$ lên $\mathbf{R}$ (nói cách khác,

$G$ đẳng cấu đại số với $\mathbf{R}$ và tôpô của nó mịn hơn tôpô của $\mathbf{R}$. Ta sẽ lần lượt thiết lập các tính chất sau:

a) Cho $(U_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một phân hoạch của $G^*$ được tạo bởi các tập mở trong $G^*$ ($n \geq 2$). Bây giờ chứng minh rằng mỗi tập $U_i$ là mở trong $G$, rằng $e$ dính vào mỗi tập đó và rằng $G$ là tách. Suy ra rằng các bao đóng $\overline{U}_i = U_i \cup \{e\}$ trong $G$ là liên thông (I, p. 115, exerc. 4).

b) Cho $A$ là một thành phần liên thông của $U_i$; bây giờ chứng minh rằng với mọi chỉ số $j \neq i$, ta có $A^{-1} \overline{U}_j = A^{-1}$ (quan sát rằng $A^{-1} \overline{U}_j$ là liên thông và chứa $A^{-1}$, và rằng $A^{-1} \overline{U}_j \subset G^*$ với $j \neq i$).

c) Bây giờ chứng minh rằng tất yếu $n = 2$ (lấy với mỗi chỉ số $i$ sao cho $1 \leq i \leq n$, một thành phần liên thông $A_i$ của $U_i$; với $j \neq i$, theo b), ta có $A_i^{-1} A_j \subset A_i^{-1}$, $A_j^{-1} A_i \subset A_i^{-1} \subset U_j^{-1}$, do đó $A_j^{-1} \subset U_j$). Suy ra rằng $G^*$ có đúng hai thành phần liên thông $A, B$, rằng $B = A^{-1}$ và $\overline{A} = C(A^{-1})$.

d) Quan hệ $yx^{-1} \in \overline{A}$ là một quan hệ thứ tự làm cho $G$ trở thành một nhóm được sắp thứ tự toàn phần (chứng minh rằng $\overline{A}^2 = \overline{A}$ và rằng $x \overline{A} x^{-1} = \overline{A}$ với mọi $x \in G$).

e) Tôpô $\mathscr{T}_0(G)$ kém mịn hơn tôpô đã cho $\mathscr{T}$ trên $G$ (quan sát rằng $A$ là mở đối với $\mathscr{T}$).

Kết luận nhờ Bài tập 2 ở trên và I, p. 82, prop. 4. (Cf. VI, p. 23, exerc. 12b).)

f) Bây giờ chứng minh rằng nếu giả sử thêm rằng $G$ là compact địa phương, hoặc liên thông địa phương, thì $G$ đẳng cấu với $\mathbf{R}$.