Exercice 12, § 1

a) Soit $f$ une application de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$, et soit $G \subset \mathbf{R}^2$ son graphe. On suppose que $G$ est dense dans $\mathbf{R}^2$, et rencontre tout ensemble parfait contenu dans $\mathbf{R}^2$ et non contenu dans une réunion dénombrable de droites $\{x_n\} \times \mathbf{R}$. Montrer que $G$ est connexe. (Observer que dans le cas contraire, il existerait deux ensembles ouverts non vides sans point commun $A, B$ dans $\mathbf{R}^2$ tels que $G$ soit réunion de $G \cap A$ et de $G \cap B$, et qu’il existerait au moins un point de $A$ et un point de $B$ ayant même première projection, en utilisant le fait que $\mathbf{R}$ est connexe; utiliser enfin l’exerc. 11.)

b) Déduire de a) qu’il existe une application linéaire $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ dont le graphe $G$ est dense dans $\mathbf{R}^2$ et connexe. (En utilisant a) et l’exerc. 11, définir par récurrence transfinie les valeurs de $f$ aux points d’une base de Hamel de $\mathbf{R}$, en suivant la même méthode que dans E, III, p. 91, exerc. 24). En déduire que le sous-groupe $G$ de $\mathbf{R}^2$ vérifie les conditions $(R_I)$ et $(R_{II})$ de V, p. 16, exerc. 4, mais n’est pas localement compact, et a donc une topologie strictement plus fine que la topologie usuelle de $\mathbf{R}$; en outre $G$ n’est pas localement connexe.