Bài tập 12, § 1

a) Cho $f$ là một ánh xạ từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$, và cho $G \subset \mathbf{R}^2$ là đồ thị của $f$. Giả sử rằng $G$ trù mật trong $\mathbf{R}^2$ và gặp mọi tập hoàn hảo trong $\mathbf{R}^2$ không được chứa trong bất kỳ hợp đếm được nào của các đường thẳng $\{x_n\} \times \mathbf{R}$. Chứng minh rằng $G$ là liên thông. (Nếu điều này là sai, chứng minh rằng tồn tại hai tập mở, không rỗng, rời nhau $A, B$ trong $\mathbf{R}^2$ sao cho $G$ là hợp của $G \cap A$ và $G \cap B$, và tồn tại ít nhất một điểm của $A$ và một điểm của $B$ có cùng hoành độ, bằng cách sử dụng sự kiện rằng $\mathbf{R}$ là liên thông; sau đó sử dụng Bài tập 11.)

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính $f$ từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$ có đồ thị $G$ trù mật trong $\mathbf{R}^2$ và liên thông. [Sử dụng a) và Bài tập 11, định nghĩa bằng quy nạp siêu hạn các giá trị của $f$ tại các điểm của một cơ sở Hamel của $\mathbf{R}$, sử dụng cùng phương pháp như trong Lý thuyết tập hợp, chương III, § 6, Bài tập 24.] Suy ra rằng nhóm con $G$ của $\mathbf{R}^2$ thỏa mãn các điều kiện (R_I) và (R_{II}) của chương V, § 3, Bài tập 4, nhưng không compact địa phương, và do đó có một tôpô thực sự mịn hơn tôpô thông thường của $\mathbf{R}$; và rằng $G$ không liên thông địa phương.