Exercice 6, § 1

On dit qu’une partie $L$ de $\mathbf{R}^n$ est une ligne brisée s’il existe une suite finie $(x_i)_{0 \leq i \leq p}$ de points de $\mathbf{R}^n$ telle que, si $S_i$ désigne le segment fermé d’extrémités $x_{i-1}$ et $x_i$ pour $1 \leq i \leq p$, $L$ soit réunion des $S_i$, que l’on appelle les côtés de $L$ relatifs à la suite $(x_i)$ (il existe en général une infinité de suites finies de points de $\mathbf{R}^n$ définissant une même ligne brisée). Une ligne brisée est aussi l’image d’une application $u$ de $[0, 1]$ dans $\mathbf{R}^n$ telle qu’il existe une suite strictement croissante $(t_j)_{0 \leq j \leq q}$ dans $[0, 1]$ avec $t_0 = 0,\ t_q = 1,\ u$ étant une application linéaire affine $t \mapsto \mathbf{a}_j + t \mathbf{b}_j$ pour $t_{j-1} \leq t \leq t_j$ et tout $j$ (on dit qu’une telle application $u$ est « linéaire par morceaux »). Étant donnée une partie non vide $A$ de $\mathbf{R}^n$, on dit que deux points $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ de $A$ peuvent être joints par une ligne brisée dans $A$ s’il existe une ligne brisée $L \subset A$, définie par une suite $(\mathbf{x}_i)_{0 \leq i \leq p}$ telle que $\mathbf{x}_0 = \mathbf{a}$ et $\mathbf{x}_p = \mathbf{b}$. Si deux points quelconques de $A$ peuvent être joints par une ligne brisée dans $A$, $A$ est connexe. Inversement, si $A$ est une partie ouverte connexe de $\mathbf{R}^n$, montrer que deux points quelconques de $A$ peuvent être joints par une ligne brisée dans $A$ (considérer la relation « $x$ et $y$ peuvent être joints par une ligne brisée dans $A$ » entre points $x$, $y$ de $A$; montrer que c’est une relation d’équivalence et que les classes suivant cette relation sont des ensembles ouverts); on peut même toujours supposer que cette ligne brisée est réunion de segments dont chacun est parallèle à un des axes de coordonnées (même méthode). En déduire que dans un ensemble ouvert non vide $A$ de $\mathbf{R}^n$, la composante connexe d’un point $\mathbf{a} \in A$ est l’ensemble des points de $A$ pouvant être joints à $\mathbf{a}$ par une ligne brisée dans $A$.